Penerapan Integral Dalam Kehidupan Sehari-hari

Luas Daerah Datar

Perhatikan daerah di bawah kurva y = f (x) di antara dua garis tegak x = a dan x = b di atas sumbu x , dengan f fungsi kontinu. Seperti pada saa mendefinisikan integral tertentu, kita bagi interval [a,b] menjadi n sub interval dengan lebar sama dan selanjutnya kita hampiri sub interval ke- I dengan persegi panjang

dengan lebar Δx = (b − a) / n dan tinggi ( * ) f xi (lihat gambar, kita boleh saja mengambil semua titik sample berupa titik ujung, yakni xi* = xi ). Dengan demikian jumlah Riemann

merupakan hampiran luas dari daerah dibawah kurva y = f (x) tersebut.

Hampiran akan semakin baik, mendekati luas sesungguhnya, jika n →∞. Oleh karena itu luas daerah di bawah kurva y = f (x) di antara dua garis tegak x = a dan x = b di atas sumbu x didefinisikan sebagai nilai limi dari jumlah luas persegi panjang tersebut, yaitu

Contoh 1 :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = 2x ,sumbu x, x = 1 dan x =3

Penyelesaian :

Luasnya adalah

Untuk daerah yang dibatasi oleh dua kurva y1 = f (x) dan y2 = g(x) di antara dua garis tegak x = a dan x = b dengan f dan g kontinu dan f (x) ≤ g(x) untuk semua x pada [a,b] luasnya adalah

Volume Benda Putar

Metode cakram

Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x pada [a,b] diputar terhadap sumbu x, adalah

Volume = Luas alas x tinggi

=      vi.r^2.t

Volume sebenarnya

Metode Kulit

Daerah Yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x = a dan x = b, sera sumbu x, diputar terhadap sumbu y. Maka volume benda yang dihasilkan dapat dihitung sebagai berikut :

Interval [a.b] dibagi menjadi n bagian sub interval yaitu ; a = x0, x1, x2, … , xn= b yang

masing-masing panjangnya i Δ x = xi – xi-1. Maka jika luasan pada [xi-1, xi] diputar

mengelilingi sumbu y, maka diperoleh tabung Vi , yang volumenya adalah

Sehingga diperoleh

Sedangkan volume sesungguhnya adalah

atau

Panjang Busur

Akan dihitung panjang busur AB dari kurva y = f(x) pada [a,b]

Diambil partisi P={a = x0, x1, x2, … , xn = b } pada [a,b], sehingga terdapat titik A=P0 P1, … , Pn = B yang terletak pada kurva. Panjang busur AB didekati oleh jumlah panjang n buah tali busur P0 , P1, … ,Pn-1 , Pn , yaitu :

Untuk P → 0 atau n→ ∞ diperoleh

Panjang busur AB adalah :

atau

Secara sama untuk kurva x = g(y) pada [c,d], dapat dicari

Integral Fourier dan Transformasi Fourier

Suatu fungsi dapat diekspansikan secara fourier, bila kalanya telah bersifat tak berhingga. Akibatnya, fungsi yang semula dipandang sebagai berkala, sekarang telah menjadi tidak berulang lagi dalam selang -∞  dan ∞.

Sedangkan persamaan menjadi

Dengan mengganti a à ∞ maka Δk à dk dan k tidak lagi diskret melainkan berubah secara scalar, dalam mengambil limit itu akan menjadi dalam bentuk :

dengan

Persamaan Reaksi Dwi Molekul

Misalkan konsentrasi molekul A dan B pada saat awal masing-masing a dan b, dan misalkan pula konsentrasi molekul C yang dibentuknya pada saat t ialah x, maka kecepatan reaksinya akan sebanding dengan produk konsentrasi antara molekul A dan Molekul B pada saat t. Dengan demikian persamaan kecepatan reaksinya akan ditentukan  oleh

Dimana p dan q masing-masing menyatakan sebagai perbandingan pengurangan konsentrasi molekul A dan B, sedang k juga suatu tetapan. Dalam hal ini jelas p+q = 1 dan diandaikan bahwa tidak penyusutan konsentrasi total akibat reaksi, Penyelesaian persamaan diperoleh melalui integrasi :

Dengan C sebagai factor integrasi. Karena pada saat t=0, x=0, kita dapatkan , sehingga diperoleh

atau

Kita melihat, kalau a = b, maka dapat dipahami kalau juga p = q, sehingga penyelesaian tidak tentu. Oleh karena itu, kita harus meninjau persamaan dari mula sebagai oleh